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2021年高考数学新高考Ⅰ-14

  2021-06-14 21:53:28  

(5分)已知$O$为坐标原点,抛物线$C:y^{2}=2px(p>0)$的焦点为$F$,$P$为$C$上一点,$PF$与$x$轴垂直,$Q$为$x$轴上一点,且$PQ\bot OP$.若$\vert FQ\vert =6$,则$C$的准线方程为______.
分析:求出点$P$的坐标,推出$PQ$方程,然后求解$Q$的坐标,利用$\vert FQ\vert =6$,求解$p$,然后求解准线方程.
解:由题意,不妨设$P$在第一象限,则$P(\dfrac{p}{2}$,$p)$,$k_{OP}=2$,$PQ\bot OP$.
所以$k_{PQ}=-\dfrac{1}{2}$,所以$PQ$的方程为:$y-p=-\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{p}{2})$,
$y=0$时,$x=\dfrac{5p}{2}$,
$\vert FQ\vert =6$,所以$\dfrac{5p}{2}-\dfrac{p}{2}=6$,解得$p=3$,
所以抛物线的准线方程为:$x=-\dfrac{3}{2}$.
故答案为:$x=-\dfrac{3}{2}$.
点评:本题考查抛物线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.

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