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2021年高考数学新高考Ⅰ-12

  2021-06-14 21:43:44  

(5分)在正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中,$AB=AA_{1}=1$,点$P$满足$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$,其中$\lambda \in [0$,$1]$,$\mu \in [0$,$1]$,则(  )
A.当$\lambda =1$时,△$AB_{1}P$的周长为定值              
B.当$\mu =1$时,三棱锥$P-A_{1}BC$的体积为定值              
C.当$\lambda =\dfrac{1}{2}$时,有且仅有一个点$P$,使得$A_{1}P\bot BP$              
D.当$\mu =\dfrac{1}{2}$时,有且仅有一个点$P$,使得$A_{1}B\bot$平面$AB_{1}P$
分析:判断当$\lambda =1$时,点$P$在线段$CC_{1}$上,分别计算点$P$为两个特殊点时的周长,即可判断选项$A$;当$\mu =1$时,点$P$在线段$B_{1}C_{1}$上,利用线面平行的性质以及锥体的体积公式,即可判断选项$B$;当$\lambda =\dfrac{1}{2}$时,取线段$BC$,$B_{1}C_{1}$的中点分别为$M$,$M_{1}$,连结$M_{1}M$,则点$P$在线段$M_{1}M$上,分别取点$P$在$M_{1}$,$M$处,得到均满足$A_{1}P\bot BP$,即可判断选项$C$;当$\mu =\dfrac{1}{2}$时,取$CC_{1}$的中点$D_{1}$,$BB_{1}$的中点$D$,则点$P$在线的$DD_{1}$上,证明当点$P$在点$D_{1}$处时,$A_{1}B\bot$平面$AB_{1}D_{1}$,利用过定点$A$与定直线$A_{1}B$垂直的平面有且只有一个,即可判断选项$D$.
解:对于A,当$\lambda =1$时,$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$,即$\overrightarrow{CP}=\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$,所以$\overrightarrow{CP}//\overrightarrow{B{B}_{1}}$,
故点$P$在线段$CC_{1}$上,此时△$AB_{1}P$的周长为$AB_{1}+B_{1}P+AP$,
当点$P$为$CC_{1}$的中点时,△$AB_{1}P$的周长为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$,
当点$P$在点$C_{1}$处时,△$AB_{1}P$的周长为$2\sqrt{2}+1$,
故周长不为定值,故选项A错误;

对于B,当$\mu =1$时,$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}$,即$\overrightarrow{{B}_{1}P}=\lambda \overrightarrow{BC}$,所以$\overrightarrow{{B}_{1}P}//\overrightarrow{BC}$,
故点$P$在线段$B_{1}C_{1}$上,
因为$B_{1}C_{1}//$平面$A_{1}BC$,
所以直线$B_{1}C_{1}$上的点到平面$A_{1}BC$的距离相等,
又△$A_{1}BC$的面积为定值,
所以三棱锥$P-A_{1}BC$的体积为定值,故选项B正确;

对于C,当$\lambda =\dfrac{1}{2}$时,取线段$BC$,$B_{1}C_{1}$的中点分别为$M$,$M_{1}$,连结$M_{1}M$,
因为$\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$,即$\overrightarrow{MP}=\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$,所以$\overrightarrow{MP}//\overrightarrow{B{B}_{1}}$,
则点$P$在线段$M_{1}M$上,
当点$P$在$M_{1}$处时,$A_{1}M_{1}\bot B_{1}C_{1}$,$A_{1}M_{1}\bot B_{1}B$,
又$B_{1}C_{1}\cap B_{1}B=B_{1}$,所以$A_{1}M_{1}\bot$平面$BB_{1}C_{1}C$,
又$BM_{1}\subset$平面$BB_{1}C_{1}C$,所以$A_{1}M_{1}\bot BM_{1}$,即$A_{1}P\bot BP$,
同理,当点$P$在$M$处,$A_{1}P\bot BP$,故选项C错误;

对于D,当$\mu =\dfrac{1}{2}$时,取$CC_{1}$的中点$D_{1}$,$BB_{1}$的中点$D$,
因为$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{B{B}_{1}}$,即$\overrightarrow{DP}=\lambda \overrightarrow{BC}$,所以$\overrightarrow{DP}//\overrightarrow{BC}$,
则点$P$在线的$DD_{1}$上,
当点$P$在点$D_{1}$处时,取$AC$的中点$E$,连结$A_{1}E$,$BE$,
因为$BE\bot$平面$ACC_{1}A_{1}$,又$AD_{1}\subset$平面$ACC_{1}A_{1}$,所以$AD_{1}\bot BE$,
在正方形$ACC_{1}A_{1}$中,$AD_{1}\bot A_{1}E$,
又$BE\cap A_{1}E=E$,$BE$,$A_{1}E\subset$平面$A_{1}BE$,
故$AD_{1}\bot$平面$A_{1}BE$,又$A_{1}B\subset$平面$A_{1}BE$,所以$A_{1}B\bot AD_{1}$,
在正方体形$ABB_{1}A_{1}$中,$A_{1}B\bot AB_{1}$,
又$AD_{1}\cap AB_{1}=A$,$AD_{1}$,$AB_{1}\subset$平面$AB_{1}D_{1}$,所以$A_{1}B\bot$平面$AB_{1}D_{1}$,
因为过定点$A$与定直线$A_{1}B$垂直的平面有且只有一个,
故有且仅有一个点$P$,使得$A_{1}B\bot$平面$AB_{1}P$,故选项D正确.

故选:BD.

点评:本题考查了动点轨迹,线面平行与线面垂直的判定,锥体的体积问题等,综合性强,考查了逻辑推理能力与空间想象能力,属于难题.

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