2020年高考数学新高考Ⅱ-14 |
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2021-06-08 21:55:19 |
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斜率为$\sqrt{3}$的直线过抛物线$C:y^{2}=4x$的焦点,且与$C$交于$A$,$B$两点,则$\vert AB\vert =$ ____ . 分析:由题意求出直线$AB$的方程,联立直线和抛物线方程,利用抛物线的性质转化求解即可. 解答:由题意可得抛物线焦点$F(1,0)$,直线$l$的方程为$y=\sqrt{3}(x-1)$, 代入$y^{2}=4x$并化简得$3x^{2}-10x+3=0$, 设$A(x_{1}$,$y_{1})$,$B(x_{2}$,$y_{2})$,则$x_{1}+x_{2}=\dfrac{10}{3}$; $x_{1}x_{2}=1$, $\therefore$由抛物线的定义可得$\vert AB\vert =x_{1}+x_{2}+p=\dfrac{10}{3}+2=\dfrac{16}{3}$. 故答案为:$\dfrac{16}{3}$. 点评:本题考查了抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系的应用,考查了学生的计算能力,是中档题.
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