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2020年高考数学江苏19

  2020-11-23 22:53:32  

(2020江苏卷计算题)

已知关于的函数)在区间上恒有

(1)若,求的表达式。

(2)若,求的取值范围。

(3)若),,求证:

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第19题
【答案】

(1)由

又因为

所以

所以函数的图象为过原点,斜率为的直线,

所以

经检验,符合题意。

(2)

,则

,解得

所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以,所以当时,

得,

时,在区间上单调递增,

所以

所以

时,一元二次方程的判别式小于等于

整理得

解得

综上所述,

(3)因为

所以

所以函数的图象在处的切线方程为:

对比其与函数的形式可以发现,函数实际上是曲线在点处的切线方程,

因为

所以当时,;当时,

所以函数上单调递减,在上单调递增,

注意到

所以可以作出函数上的图象,如下图所示,

因为当时,

所以当时,函数的图象要始终位于其在点处的切线的上方,

根据图象可知,为了使得区间的长度尽可能的大,应当满足(如图中所示),

此时区间最大,

下面去求解使得恒成立的的取值范围,

注意到函数为二次函数(图象为开口向上的抛物线),函数为一次函数(图象为直线),

根据二次函数和一次函数的图象的性质可得,只需要求解的两个根,即可找到使得恒成立的的取值范围,

,得到

所以

所以

所以当时,

所以上单调递减,

所以

所以

所以满足恒成立的区间的长度的最大值为

所以若在区间上使恒成立,则区间的最大长度为

所以

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的计算。

(1)首先求出当时,,再利用导数求出,即可求出函数的图象为过原点,斜率为的直线,即

(2)因为,设,求出,由求出。因为,结合一元二次方程的对称轴和判别式,分进行讨论,即可求出

(3)首先对函数求导,求出其在点处的切线方程,可以发现为曲线在点处的切线方程。判断出函数的单调性,作出函数的草图,根据图象找到使得不等式成立并且可以使得区间最大的的取值范围。接下来去寻找使得成立的最大区间。注意到函数为开口向上的抛物线,函数为直线,所以只需要求解的两个根,即可找到符合题意的最大区间,其中。利用建立一元二次方程,求出的表达式,并求出其最大值,即可求出区间长度的最大值,即可证明出题干的命题。

【考点】
导数的计算利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值与最值利用导数研究函数的图象利用导数证明不等式导数的计算导数在研究函数中的应用


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