（12分）已知曲线：，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，。
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程。
（1）设直线方程为，，，，
所以，得，
所以，
因为，
所以。
所以切线的斜率为，
即，
同理可得，
所以直线的方程为，
所以过定点。
（2）由（1）知，为时，：，
即。
由可得，
所以，。
设为线段中点，所以，
又，，，
解得或，
当时，，圆的方程为，
综上，圆的方程为或。
本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。
（1）先设出的直线方程，再根据导数的几何意义，可列出，的方程，联立直线和的方程可得出，即过定点。
（2）由（1）知直线方程为，设为线段中点，根据（1）可求出点，即，依题意知，即，求出和向量的平行向量，根据相互垂直的向量数量积为零，列式解得或，代入即可求出圆的方程。
