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2019年高考数学上海20

  2019-06-20 20:15:43  

(2019上海卷计算题)

(本题满分16分)

已知椭圆为左、右焦点,直线交椭圆于两点。

(1)若直线垂直于轴,求

(2)当时,轴上方时,求的坐标;

(3)若直线轴于,直线轴于,是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):数学第20题
【答案】

(1)由题意可得

所以

代入椭圆方程,得

所以

(2)因为,则

所以

联立解得

所以

所以直线的方程为

联立整理得,解得

因为,所以

(3)不妨设轴上方,下方,

①由(1)得若直线垂直于轴,

所以

直线,则

根据椭圆的对称性可得

所以

所以直线垂直于轴的情况舍去。

②若直线不垂直于轴,设直线的斜率为

所以

同理可得

联立直线和椭圆的方程:

整理得

因为直线经过椭圆焦点,

所以直线恒与椭圆有两个交点,

所以

又因为

所以

解得

所以存在直线,使得

直线的方程为

【解析】

本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。

(1)根据题意可得焦点坐标,即可得直线的方程,联立直线和椭圆的方程即可得的纵坐标,即可得

(2)根据可得。设,即可得,将该方程与椭圆方程联立即可得点坐标,根据点和点的坐标即可得直线的方程,联立直线和椭圆的方程,即可得点的坐标。

(3)不妨设轴上方,下方,讨论可得当直线垂直于轴时,不符合题意,所以设直线的斜率为,设,写出直线的方程,即可得点的坐标。同理可得点坐标,用含的式子表示,联立直线和椭圆的方程,根据和韦达定理即可得,即可得直线的方程。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线


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