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2019年高考数学浙江22

  2019-06-20 20:12:27  

(2019浙江卷计算题)

(本题满分分)已知实数,设函数

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;

(Ⅱ)对任意均有,求的取值范围。

注:为自然对数的底数。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷):数学第22题
【答案】

(Ⅰ)当时,

,即,即解不等式

该不等式等价于,解得

所以的单调递增区间为,单调递减区间为

(Ⅱ)令

(1)当时,由于,则,所以

所以

时,,不符合题意,舍去。

(2)当时,由于,得,下面证明符合题意。

①当时,此时有

所以上单调递减,所以,符合题意。

②当时,想证明,即

,这是一个关于的开口向下的二次函数,

时,有

所以恒大于

所以,上单调递增,而

所以当时,命题成立。

而当时,的对称轴的增大而增大,

所以对称轴在的右侧,

所以上单调递增,

时,

又知

所以先减后增,

所以,命题成立,

综上所述,实数的取值范围是

【解析】

本题主要考查不等关系与不等式、对数与对数函数以及函数的概念与性质。

(Ⅰ)将的值代入式子,求导,对导数进行分析,即可得函数的单调区间,注意函数的定义域。

(Ⅱ)题目转化为上恒成立,分讨论,根据函数单调性来解出的取值范围。

【考点】
不等式关系对数函数


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