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2018年高考数学新课标2--文21

  2018-07-26 16:16:26  

(2018新课标Ⅱ卷计算题)

已知函数

(1)若,求的单调区间;

(2)证明:只有一个零点。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):文数第21题
【答案】

(1)当时,

所以,令

时,单调递增,

时,单调递减,

时,单调递增,

综上所述,的单调递增区间为,单调递减区间为

(2)证明:因为

所以等价于

,当且仅当

所以上单调递增,

至多有一个零点,即至多有一个零点。

又因为

,而上连续,

则在上存在,使得

有且只有一个零点,且零点存在于

综上所述,只有一个零点。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质。

(1)将代入函数表达式,求导后通过讨论导数的正负可得到函数的单调区间。

(2)先通过构造函数,通过,可利用单调性确定函数零点的唯一性。通过可以证明函数零点的存在,即函数存在唯一一个零点。

【考点】
函数导数在研究函数中的应用


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