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2018年高考数学新课标2--文20

  2018-07-26 16:16:26  

(2018新课标Ⅱ卷计算题)

设抛物线的焦点为,过且斜率为)的直线交于两点,

(1)求的方程;

(2)求过点且与的准线相切的圆的方程。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):文数第20题
【答案】

(1)设点

根据抛物线方程可知其焦点坐标为,准线为

由题意可设直线的方程为),

联立直线与抛物线方程,消

,则方程有两不等实根。

,由于两点在直线上,

是方程的两不等实根。

由韦达定理得

由于,则两点在轴的异侧。

解得,又,所以

故直线的方程为

(2)由(1)可得,则

则线段的中点为。而的斜率为,则线段的垂直平分线斜率为

其垂直平分线方程可写作

因为经过点的圆的圆心必在线段的垂直平分线上,

则可设圆心为,由于圆与抛物线的准线相切,

,由于点均在轴右侧且圆经过点

则圆必与直线相交,故。则到直线的距离为

即圆的半径为

到直线的距离可以表示为:

,平方后移项得

解得,则圆的方程为

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线。

(1)由的坐标及直线的斜率为,可写出,联立抛物线方程及可以求出值。

(2)由(1)的结论推出线段垂直平分线方程,设圆心坐标,根据圆与准线相切,且圆过两点可得,则圆的半径,再根据勾股定理,利用圆心到弦的距离和弦的长度可求出半径的表达式,联立两式解出后可写出圆的方程。

【考点】
直线与圆锥曲线


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