解：（1）$a=1$时，$f(x)=|x+1|-|x-1|$，

所以$f(x)=\begin{cases}2,&x>1 \\2x,&-1\leqslant x \leqslant 1 \\-2,&x<-1\end{cases}$，

所以，当$x>1$时，$f(x)=2>1$恒成立，

当$-1\leqslant x \leqslant 1$时，$f(x)=2x>1$，
所以$x>\dfrac{1}{2}$，所以$\dfrac{1}{2}<x \leqslant 1$，

当$x<-1$时，$f(x)=-2<1$恒成立，

综上所述，$f(x)>1$的解集为$\{x|x>\dfrac{1}{2}\}$。

（2）当$x \in(0,1)$时，$f(x)=x+1-|ax-1|>x$，

可转化为$|ax-1|<1$，所以$-1<ax-1<1$，

所以$0<ax<2$，

又因为$x \in (0,1)$，

所以$\begin{cases}a>0\\a<\dfrac{2}{x}\end{cases}$，即$0<a \leqslant 2$，

所以$a$的取值范围是$0<a \leqslant 2$。