2018年高考数学新课标1--理10 打印页面 - Powered by 开心教练QQ:29443574

(2018新课标Ⅰ卷单选题)

下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$ ，直角边 $AB$ ， $AC$ ， $\triangle ABC$ 的三边所围成的区域记为 $\text{I}$ ，黑色部分记为 $\text{II}$ ，其余部分记为 $\text{III}$ ，在整个图形中随机取一点，此点取自 $\text{I}$ ， $\text{II}$ ， $\text{III}$ 的概率分别记为 $p_1$ ， $p_2$ ， $p_3$ ，则（）。

【解析】

本题主要考查几何概型。

设 $AB=b$ ， $AC=a$ ， $BC=c$ ， $a^2+b^2=c^2$ ，

因为三半圆分别以 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ 为直径，

所以以 $BC$ 为直径的圆的面积为 $\pi (\dfrac{c}{2})^2$ ，

以 $AB$ 为直径的圆的面积为 $\pi (\dfrac{b}{2})^2$ ，

以 $AC$ 为直径的圆的面积为 $\pi (\dfrac{a}{2})^2$ ，

所以 $S_\text{I} =\dfrac{1}{2}ab$ ，
$\begin{align}S_\text{II}&=\dfrac{\pi b^2}{8}+\dfrac{\pi a^2}{8}-(\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab)\\&=\dfrac{\pi(b^2+a^2-c^2)}{8}+\dfrac{1}{2} ab\\&=\dfrac{1}{2} ab\end{align}$ ，
$S_\text{III}=\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab$ ，

所以 $S_\text{I}=S_\text{II}$ ，

故取到 $\text{I}$ 、 $\text{II}$ 的概率相等，即 $p_1=p_2$ 。

故本题正确答案为A。