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2018年高考数学新课标1--理10

  2018-07-26 16:16:21  

(2018新课标Ⅰ卷单选题)

下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形$ABC$的斜边$BC$,直角边$AB$,$AC$,$\triangle ABC$的三边所围成的区域记为$\text{I}$,黑色部分记为$\text{II}$,其余部分记为$\text{III}$,在整个图形中随机取一点,此点取自$\text{I}$,$\text{II}$,$\text{III}$的概率分别记为$p_1$,$p_2$,$p_3$,则(  )。

【A】$p_1=p_2$
【B】$p_1=p_3$
【C】$p_2=p_3$
【D】$p_1=p_2+p_3$
【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第10题
【题情】
本题共被作答18120次,正确率为61.88%,易错项为D
【解析】

本题主要考查几何概型。

设$AB=b$,$AC=a$,$BC=c$,$a^2+b^2=c^2$,

因为三半圆分别以$AB$,$AC$,$BC$为直径,

所以以$BC$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{c}{2})^2$,

以$AB$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{b}{2})^2$,

以$AC$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{a}{2})^2$,

所以$S_\text{I} =\dfrac{1}{2}ab$,
$\begin{align}S_\text{II}&=\dfrac{\pi b^2}{8}+\dfrac{\pi a^2}{8}-(\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab)\\&=\dfrac{\pi(b^2+a^2-c^2)}{8}+\dfrac{1}{2} ab\\&=\dfrac{1}{2} ab\end{align}$,
$S_\text{III}=\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab$,

所以$S_\text{I}=S_\text{II}$,

故取到$\text{I}$、$\text{II}$的概率相等,即$p_1=p_2$。

故本题正确答案为A。

【考点】
随机数与几何概型


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