2018年高考数学新课标1--理10 打印页面 - Powered by 开心教练QQ:29443574

(2018新课标Ⅰ卷单选题)

下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形$ABC$的斜边$BC$，直角边$AB$，$AC$，$\triangle ABC$的三边所围成的区域记为$\text{I}$，黑色部分记为$\text{II}$，其余部分记为$\text{III}$，在整个图形中随机取一点，此点取自$\text{I}$，$\text{II}$，$\text{III}$的概率分别记为$p_1$，$p_2$，$p_3$，则（）。

【解析】

本题主要考查几何概型。

设$AB=b$，$AC=a$，$BC=c$，$a^2+b^2=c^2$，

因为三半圆分别以$AB$，$AC$，$BC$为直径，

所以以$BC$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{c}{2})^2$，

以$AB$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{b}{2})^2$，

以$AC$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{a}{2})^2$，

所以$S_\text{I} =\dfrac{1}{2}ab$，
$\begin{align}S_\text{II}&=\dfrac{\pi b^2}{8}+\dfrac{\pi a^2}{8}-(\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab)\\&=\dfrac{\pi(b^2+a^2-c^2)}{8}+\dfrac{1}{2} ab\\&=\dfrac{1}{2} ab\end{align}$，
$S_\text{III}=\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab$，

所以$S_\text{I}=S_\text{II}$，

故取到$\text{I}$、$\text{II}$的概率相等，即$p_1=p_2$。

故本题正确答案为A。