本题主要考查函数的概念与性质和导数的概念及其几何意义。

由题知，$f(x)$为奇函数。

所以$f(x)=-f(-x)$
$\Longrightarrow x^3+(a-1)x^2+ax$$=-[(-x)^3+(a-1)x^2-ax]$，

所以$2(a-1)x^2=0 \Longrightarrow a=1$，

所以$f(x)=x^3+x$，$f'(x)=3x^2+1$，$f'(0)=3\times 0 +1 =1$，

故切线方程为$y-0=1 \times (x-0) \Longrightarrow y=x$。

故本题正确答案为D。