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2016年高考数学天津--文20

  2016-10-30 09:24:08  

(2016天津卷计算题)

(本小题满分14分)

设函数,其中

(1)求的单调区间;

(2)若存在极值点,且,其中,求证:

(3)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于

【出处】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第20题
【答案】

(1)

时,恒成立,的单调递增区间为

时,令,解得。当单调递增;单调递减;当单调递增。所以的单调递减区间为,单调递增区间为

(2)由(1)知,且,由题意得,即,又,且。由题意及(1)知,存在唯一实数满足,且,因此,所以

(3)设在区间上的最大值为表示的最大值。

时,,由(1)知,内单调递减,所以内的取值范围为,所以

时,,由(1)和(2)知,所以在区间上的取值范围为,因此

时,,由(1)(2)知,所以内的取值范围为

综上所述,在区间上的最大值不小于

【解析】

本题主要考查导数在函数研究中的应用。

(1)对求导,讨论的大小,根据正负,判断的单调性;

(2)由(1)得,计算,即可证明

(3)讨论时,的最大值,判断其与的大小。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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