91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2016 > 2016年新课标3文数 > 正文 返回 打印

2016年高考数学新课标3--文20

  2016-10-30 09:23:53  

(2016新课标Ⅲ卷计算题)

(本小题满分12分)

已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交两点,交的准线于两点。

(1)若在线段上,的中点,证明

(2)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程。

【出处】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):文数第20题
【答案】

(1)如下图所示,取中点

,根据抛物线的定义可知,又因为,所以,所以,所以,所以

(2)设,直线轴交于点

,所以,因为的面积是的面积的两倍,所以,解得,故直线恒过点,不妨设直线斜率存在为,则直线方程为,显然,代入抛物线方程消去可得,所以,消去可得,所以,则中点为,所以消去参数可得中点轨迹为,若直线斜率不存在,中点坐标为,符合方程,所以中点轨迹方程为

【解析】

本题主要考查圆锥曲线。

(1)取中点,根据抛物线定义、题中所给条件,利用边角边关系,证得,即可证得,所以

(2)确定各点坐标,将两个三角形的面积表达出来,利用体中所给的等式关系,解出直线轴交于定点,可设出直线方程,与抛物线联立,利用韦达定理可得中点坐标,消去参数即可得到中点轨迹为

【考点】
直线与圆锥曲线


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2016/2016xkb3w/30224.html