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2015年高考数学上海--文23

  2016-10-28 18:48:43  

(2015上海卷计算题)

(本题满分18分)

本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分。

已知数列满足

(1)若,且,求的通项公式;

(2)设的第项是最大项,即),求证:的第项是最大项;

(3)设),求的取值范围,使得对任意 , ,且 

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):文数第23题
【答案】

(1)由,得,所以是首项为,公差为的等差数列,故的通项公式为

(2)由,得,所以为常数列,,即。因为,所以,即,故的第项是最大项。

(3)因为,所以

时,

时,,符合上式,当时,,符合上式;所以。因为,且对任意,故。特别地,,于是

此时对任意

时,,由指数函数的单调性知,的最大值为,最小值为。由题意,的最大值及最小值分别为,由,解得

综上所述,的取值范围为

【解析】

本题主要考查数列综合。

(1)由由,得,因此数列为等差数列,用等差数列的通项公式写出的通项公式;

(2)由,得,所以为常数列,得出。由)推出,从而证得的第项是最大项。

(3)先求出关于的表达式,分别讨论,根据单调性求出其最值,根据题意的最值在上,即可得到的取值范围。

【考点】
创新数列问题等差数列、等比数列数列的递推与通项


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