本题主要考查函数的概念和性质，三角恒等变换。

A项，是偶函数，故A项不符合题意；

B项，是奇函数，周期，故B项符合题意；

C项，，非奇非偶，故C项不符合题意；

D项，，非奇非偶，故D项不符合题意。

故本题正确答案为B。

易错项分析：本题中容易忽略三角函数的平移而把带的函数当成奇函数，把带的函数当成偶函数，错选了A。面对可以化简的函数关系式，最好将其化到最简形式，要多加注意括号内部的式子。