本题主要考查奇函数的概念。

由奇函数的定义，分别对各选项进行考查：

A项，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数；故A项错误；

B项，不妨设，则，故不是奇函数；故B项错误；

C项，设，，故不是奇函数；故C项错误；

D项，设，，且的定义域为，故是奇函数；故D项正确。

故本题正确答案为D。