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2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷):理数第22题

  2016-10-30 09:16:35  

(2014浙江卷计算题)

(本小题满分14分)

已知函数)。

(I)若上的最大值和最小值分别记为,求

(II)设,若恒成立,求的取值范围。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷):理数第22题
【答案】

(1)因为,所以

由于

(i)当时,有,故,此时上是增函数,因此,,故

(ii)当时,若,在上是增函数;若,在上是减函数,所以。由于,因此

时,

时,

(iii)当时,有,故。此时上是减函数,因此,,故

综上,

(2)令,则

因为恒成立,即恒成立。

所以由(1)可知

(i)当时,上是增函数,上的最大值是,最小值是,则,矛盾。

(ii)当时,的最小值是,最大值是,所以,从而,令,则上是增函数,故,因此

(iii)当时,上的最小值是,最大值是,所以,解得

(iV)当时,上的最大值是,最小值是,所以,解得

综上,的取值范围是

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)利用题目所给的条件,通过对函数求导,得出单调性,求出函数上的最大值及最小值,即可求得最大值与最小值的差;

(2)可先令,求导分类讨论,可得其单调性,从而利用上的取值范围即可求出的取值范围。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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