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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第21题

  2016-10-30 09:15:57  

(2014湖南卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线的左、右焦点分别为,离心率为。已知,且

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)过的不垂直于轴的弦的中点,当直线交于两点时,求四边形面积的最小值。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第21题
【答案】

(1)因为,所以

,因此,从而

于是,所以

的方程分别为

(2)因为不垂直于轴,且过点

故可设直线的方程为

已知此方程的判别式大于,设

是上述方程的两个实根,

所以

因此

于是的中点为

故直线的斜率为的方程为,即

,所以,且

从而

设点到直线的距离为,则点到直线的距离也为

所以

因为点在直线的异侧,

所以

于是

从而

又因为

所以

故四边形的面积

,故当时,取得最小值

综上所述,四边形的面积的最小值为

【解析】

本题主要考查椭圆及双曲线。

(1)利用已知条件即可求出,从而可求出椭圆及双曲线的标准方程;

(2)设出直线方程,与椭圆方程联立,解出交点坐标,用未知数表示出所求图形的面积,利用未知数的取值范围即可求出所求图象面积的最小值。

【考点】
圆锥曲线


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