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2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷): 理数第21题

  2016-10-30 09:15:43  

(2014江西卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,已知双曲线的右焦点为,点分别在的两条渐近线上,轴,为坐标原点)。

(1)求双曲线的方程;

(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明:当点上移动时,恒为定值,并求此定值。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷): 理数第21题
【答案】

(1)设,因为,所以。直线方程为,直线的方程为,解得。又直线的方程为,则。又因为,所以,解得,故双曲线的方程为

(2)由(1)知,则直线的方程为:,即。因为直线的方程为,所以直线的交点;直线与直线的交点为。则,因为上一点,则,代入上式得,所求定值为

【解析】

本题主要考查双曲线及其性质。

(1)利用已知条件即可知道,然后在求出,即可求得双曲线的方程;

(2)写出各个直线方程,联立求出交点坐标,即可求解。

【考点】
圆锥曲线


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