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2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第23题

  2016-10-30 09:15:37  

(2014陕西卷计算题)

(本小题满分14分)

设函数,其中的导函数。

(Ⅰ)令,求的表达式;

(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围;

(Ⅲ)设,比较的大小,并加以证明。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第23题
【答案】

由题设得,)。

(Ⅰ)由已知,,可得

下面用数学归纳法证明。

①当时,,结论成立。

②假设时结论成立,即,那么,当时,,即结论成立。

由①②可知,结论对成立。

(Ⅱ)已知恒成立,即恒成立。

),则

(仅当时等号成立),所以上单调递增,又,所以上恒成立,所以时,恒成立(仅当时等号成立)。

时,对,所以上单调递减,所以

时存在,使,故知不恒成立,综上可知,的取值范围是

(Ⅲ)由题设知,比较结果为

证明如下:

证法一

上述不等式等价于,在(Ⅱ)中取,可得。令,则

下面用数学归纳法证明。

①当时,,结论成立。

②假设时结论结论成立,即

那么,当时,

,即结论成立。

由①②可知,结论对成立。

证法二

上述不等式等价于,在(Ⅱ)中取,可得。令,则

故有

上述各式相加可得

证法三

如图,是由曲线轴所围成的曲边梯形的面积,而是图中各矩形的面积和,所以,结论得证。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用及数学归纳法。

(1)先求出的表达式,归纳出的表达式,再利用数学归纳法证明即可;

(2)根据题设条件写出不等式,利用函数求导及分类讨论的思想即可求解;

(3)可利用数学归纳法或第二问的结论或者利用积分的方法都可以证明。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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