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2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷):理数第18题

  2016-10-30 09:15:30  

(2014广东卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,四边形为正方形,于点,交于点

(1)证明:

(2)求二面角的余弦值。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷):理数第18题
【答案】

(1)证明:因为平面平面平面,所以平面平面 。 又因为平面平面,所以平面,则。 已知(已证),则平面,即平面

(2)以点为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系

设正方形的边长为,则

中,,则,由(1)知,,则,则

因为平面,故平面的法向量为 ,,设平面的法向量为,则,代入可得:,令,得:,故。设平面与平面的夹角为,则,即二面角的余弦值为

【解析】

本题主要考查空间向量及其运算。

(1)运用一条直线垂直于面上两条相交直线,那么这条直线垂直于该平面即可证明;

(2)本题做辅助线直接计算二面角比较繁琐,建立空间坐标系运用向量计算则较为简便,利用平面的法向量来求二面角的余弦值。

【考点】
点、直线、平面的位置关系空间向量的应用


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