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2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第21题

  2016-10-30 09:14:57  

(2014新课标Ⅰ卷计算题)

(本小题满分12分)

设函数,曲线在点处的切线方程为

(Ⅰ)求

(Ⅱ)证明:

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第21题
【答案】

(Ⅰ)函数的定义域为。由题意可得。故

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,从而等价于。设,则。所以当时,;当时,。故单调递减,在单调递增,从而的最小值为。设函数,则。所以当时,;当时,。故单调递增,在单调递减,从而的最大值为

综上,当时,,即

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(Ⅰ)求得表达式,根据的值即可解得

(Ⅱ)将所要证明的结论化为证明成立,将不等式两边用函数表示,通过求导得到两边函数的最值,分析发现左边最小值等于右边最大值,而由于取得最值的条件不相等,则等号不成立,故左边右边恒成立,得证;

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
等价转化思想综合与分析法


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