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2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第11题

  2016-10-30 09:14:54  

(2014新课标Ⅰ卷单选题)

已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是(  )。

【A】

【B】

【C】

【D】

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第11题
【题情】
本题共被作答32104次,正确率为41.98%,易错项为B
【解析】

本题主要考查利用导函数求解函数单调区间和极值。

对函数求导,得:,令,得

(1)当时,,存在两个零点,不符合题意,故

(2)当时,,所以上单调递增,在上单调递减,所以的极小值点,的极大值点,且,当趋于负无穷时,函数值也趋于负无穷,故此时函数必有一负零点,不符合题意。

(3)当时,,所以上单调递减,在上单调递增,所以极大值点,极小值点,若要使仅有一正零点,结合函数图象,可知,代入可得:,解得:

综上所述,的取值范围为

故本题正确答案为C。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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