本题主要考查函数的奇偶性及单调性。

A项，因为，所以是偶函数，又当时，，所以在上单调递增，故A项满足题意；

B项，，所以是偶函数，当时，，所以在上单调递减，故B项不满足题意；

C项，，所以是奇函数，故C项不满足题意；

D项，，所以不是偶函数，故D项不满足题意。

故本题正确答案为A。