本题主要考查直线与双曲线的位置关系。

由题意，关于的方程，有一个解为，且根据韦达定理，，，则过，的直线方程为，即，亦即，而双曲线渐近线方程为，所以过，的直线为双曲线的一条渐近线，故交点个数为。

故本题正确答案为A。