（本小题满分14分）
将连续正整数，，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率。
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值。
（1）当时，这个数总共有个数字，其中数字的个数为，所以恰好取到的概率为。
（2）。
（3）当，；当，；当时，，即。同理，。由，可知。所以当时，。当时，；当时，；当时，，由关于单调递增，故当时，的最大值。又，所以当时，的最大值为。
本题主要考查函数与概率。
（1）当时，可得这个数的位数和数字的个数，则可得恰好取得的概率；
（2）根据的大小范围分类讨论，得出在不同值的情形下的值；
（3）通过求出函数的表达式，根据单调性质即可得到其最大值。
