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2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷):文数第19题

  2016-10-30 09:13:16  

(2014大纲卷计算题)

(本大题满分12分)

如图,三棱柱中,点在平面内的射影上,

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)设直线与平面的距离为,求二面角的大小。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷):文数第19题
【答案】

解法一:(Ⅰ)因为平面平面,故平面平面。又,所以平面。连接,因为侧面为菱形,故。由三垂线定理得

(Ⅱ)平面平面,故平面 平面,作为垂足,则平面。又直线平面,因而平面,又直线平面,因而为直线与平面的距离,。因为的平分线,故。做为垂足,连结,由三垂线定理得,故为二面角的平面角。由的中点,。所以二面角的大小为

解法二:以为坐标原点,射线轴的正半轴,以的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系。由题设知轴平行,轴在平面内。

(Ⅰ)设,由题设有,则。由,即。  ①  于是,所以 。

(Ⅱ)设平面的法向量,则,即。因,故,且。令,则,点到平面的距离为,又依题设,到平面的距离为,所以。带入①解得(舍去)或。于是。设平面的法向量,则,即,且,令,则,,又为平面的法向量,故。所以二面角的大小为

【解析】

本题主要考查线面关系的判定和二面角。

这里提供两种思路:一、几何法

(1)根据线面关系和三垂线定理即可得到结论;

(2)作出如图所示的辅助线,根据边角关系得到所要求的二面角的具体角,根据各边的长即可得该角的正切值,即得该角的大小;

二、坐标系法

得到各点坐标值,根据直线方向向量乘积为得到两条直线垂直,通过求二面角所在的两平面的法向量的夹角即可得到二面角。

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系空间直角坐标系
【标签】
图解法直接法建系法


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