本题主要考查函数与方程。

当时，，若，则（舍）；

，所以有两个极值点和；

当时，在上单调递增且至少在该区间有一个零点，因为有唯一正零点，故不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，使仅有一个零点且，只需，解得或（舍）。

故本题正确答案为C。