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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第26题

  2016-10-30 09:05:53  

(2013江苏卷计算题)

(本题满分10分)

设数列,即当时,。记。对于,定义集合的整数倍,,且

(1)求集合中元素的个数;

(2)求集合中元素的个数。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第26题
【答案】

(1)由数列的定义得,所以,从而,所以集合中元素的个数为

(2)先证:

①当时,,故原等式成立;

②假设时成立,即,则时,

综合①②可得对任意成立。

于是

由上可知的倍数,而

所以的倍数。

不是的倍数,而

所以不是的倍数,

故当时,集合中元素的个数为

于是,当时,集合中元素的个数为

,故集合中元素的个数为

【解析】

本题主要考查数列的应用与数学归纳法。

(1)根据题意把表示出来,逐个验证即可;

(2)观察(1)问的解答过程,可得,所以假设成立,应用数学归纳法证明。进一步得到

可得的倍数,而,所以的倍数。又不是的倍数,而,所以不是的倍数,故当时,集合中元素的个数为,于是,当时,集合中元素的个数为

观察可得,故集合中元素的个数为

【考点】
数学归纳法数列概念与简单表示法
【标签】
数学归纳法综合与分析法穷举法


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