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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第25题

  2016-10-30 09:05:52  

(2013江苏卷计算题)

(本小题满分10分)

如图,在直三棱柱中,,点的中点。

(1)求异面直线所成角的余弦值;

(2)求平面与平面所成二面角的正弦值。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第25题
【答案】

(1)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以

因为

所以异面直线所成角的余弦值为

(2)设平面的法向量为,因为

所以,即

,得,所以是平面的一个法向量。

取平面的一个法向量为,设平面与平面所成二面角的大小为

,得

因此,平面与平面所成二面角的正弦值为

【解析】

本题主要空间直角坐标系以及空间向量的运用。

(1)观察题目可得存在两两垂直的三条线段,分别以它们所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系。表示出点的坐标,进一步写出直线的方向向量,通过向量运算求得异面直线所成角的余弦值;

(2)求平面与平面所成的二面角,可通过求两个平面的法向量的夹角求得。利用(1)中建立的空间直角坐标系可求得平面的法向量,进而求得平面与平面所成二面角的正弦值。

【考点】
空间直角坐标系空间向量的应用
【标签】
建系法


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