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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第19题

  2016-10-30 09:05:48  

(2013江苏卷计算题)

(本小题满分16分)

是首项为,公差为的等差数列是其前项和。记,其中为实数。

(1)若,且成等比数列,证明:);

(2)若是等差数列,证明:

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷):理数第19题
【答案】

(1)若,则

成等比数列,

即:,得:,又,故

由此:

故:)。

(2)

是等差数列,则型。

观察式后一项,分子幂低于分母幂,

故有:,即,而 ,故

经检验,当是等差数列。

解读

第二问先证明成等差数列的必要条件,再验证是等差数列是一种很常用的思路,直接证充要条件反而很难证。

【解析】

本题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等。

(1)先求出的表达式,通过成等比数列列出方程,可求得的关系,代入表达式即可证明结论。

(2)将的表达式代入,若是等差数列,的通项公式应是的线性表达式,故表达式中的非一次项系数均为0,整理表达式可得,再验证是等差数列即可。

本题也可采用特殊值,选用前四项列方程,求得,再验证是等差数列即可。

【考点】
数列的递推与通项等差数列数列的求和等比数列
【标签】
定义法验证法等价转化思想特殊与一般的思想综合与分析法


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