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2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷):理数第10题

  2016-10-30 09:04:39  

(2013福建卷单选题)

的两个非空子集,如果存在一个从的函数满足:(;()对任意,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是(  )。

【A】

【B】

【C】

【D】

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷):理数第10题
【题情】
本题共被作答28005次,正确率为23.95%,易错项为B
【解析】

本题主要考查集合和映射的基本概念,以及对基本函数的把握,要求一定的构造能力。

A项,令,满足,且当,有,故A项不符合题意;

B项,令,可得集合满足条件,故B项不符合题意;

C项,令,可得集合满足条件,故C项不符合题意。

D项,由排除法知D项正确。可以考虑用反证法,假设存在满足两个要求,考虑的值,假设,我们知道任何两个有理数之间有无穷多个有理数,必存在,这与满足保序同构的第二个条件矛盾。故D项符合题意。

故本题正确答案为D。

扩展

本题易错项B,构造函数题,最常用的就是一次函数,二次函数和三角函数。我们构造的函数都是基本初等函数或者分段函数,优先考虑一次函数和二次函数,周期性的函数优先考虑三角函数。构造函数应充分利用定义域和值域的对应关系及其单调性、凹凸性。

例如对数函数定义在,值域为,单调递增,上凸函数,熟悉基本初等函数的这些性质是构造函数题的基础。

构造分段函数就要分开构造,构造多个定义在不同定义域上的函数。

对于抽象函数,也是构造一个或多个特例来解决问题。

例如,考虑指数函数和特例

这种题有一定的发散性,需要尝试。

【考点】
集合的含义及表示函数


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