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2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第19题

  2016-10-30 09:04:30  

(2013四川卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,在三棱柱中,侧棱底面分别是线段的中点,是线段的中点。

(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线于点,交于点,求二面角的余弦值。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)如图,在平面内,过点作直线,因为在平面外,在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面,由已知,的中点,所以,,则直线,因为平面,所以直线,又因为在平面内,且相交,所以直线平面

(Ⅱ)解法一:

连结,过,过,连接。由(Ⅰ)知,平面,所以平面平面。所以平面,则。所以平面,则。故为二面角的平面角(设为)。设,则由,有。又的中点,所以中点,且。所以在中,;在中,。从而,所以,故二面角的余弦值为

解法二:

,如图,过平行于,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合),则。因的中点,所以分别为的中点,故,所以。设平面的一个法向量为,则,即,故有,从而,取,则,所以。设平面的一个法向量为,则,即,故有,从而,取,则,所以。设二面角的平面角为,又为锐角,则,故二面角的余弦值为

【解析】

本题主要考查立体几何线面垂直、二面角的求解。

(Ⅰ)证明线面垂直,只需证明线与面中两条相交直线垂直;

(Ⅱ)解法一:(几何法)作图找到为二面角的平面角,求出二面角余弦值即可;解法二:(建系法)建立平面直角坐标系,然后求出两个半平面的法向量。然后由可得二面角的平面角的余弦值。

【考点】
空间向量的应用点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法直接法建系法


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