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2013年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):理数第22题

  2016-10-30 09:03:50  

(2013重庆卷计算题)

(本小题满分12分,(Ⅰ)(4分),(Ⅱ)(8分))

对正整数,记

(Ⅰ)求集合中元素的个数;

(Ⅱ)若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“稀疏集”。求的最大值,使能分成两个不相交的稀疏集的并。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):理数第22题
【答案】

(Ⅰ)当时,中有3个数与中的3个数重复,因此中元素的个数为

(Ⅱ)先证:当时,不能分成两个不相交的稀疏集的并。若不然,设为不相交的稀疏集,使。不妨设,则因,故,即

同理,又推得,但,这与为稀疏集矛盾。

再证符合要求。当时,可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取,则为稀疏集,且

时,集中除整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的并:

时,集中除整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的并:

最后,集中的数的分母均为无理数,它与中的任何其他数之和都不是整数,因此,令,则是不相交的稀疏集,且

综上,所求的最大值为

解读

考虑两个元素之和是整数的平方,即,移项并平方得:,可知是完全平方数,同理可知是完全平方数。对于互质,互质),通分得:,可知的倍数,而互质,故的倍数,同理可知的倍数,故。即若两个元素之和是整数的平方,则且为完全平方数。则若要分为两个稀疏集的并,只需将分母相同且为完全平方数的元素分成两部分,使其每个部分之中均不存在两个元素之和是整数的平方。

时,,只需令不在同一个集合即可。

时,,可以用逐一分析法将集合分为两个稀疏集的并(即若在一个集合中,则由于满足是完全平方数,可推出在另一个集合中,以此类推)。

时,考虑分母为(此时),先对讨论,发现当时不能分为两个稀疏集;再对讨论,发现当时是可以分解为两个稀疏集的。

的最大值为

【解析】

本题主要考查计数原理的使用和集合的划分。

(1)根据分布乘法原理,共有种选择,关键是找出其中重复的值。是无理数时不会重复,只需排查两种情况值重复了几次。

(2)先进行简单的尝试,看为何值时已经不满足条件了。用简单尝试发现时已经不满足条件了。接下来我们尝试构造来证明满足要求。假使仍不能构造出,可接着考虑

【考点】
集合的基本运算分类加法、分步乘法
【标签】
特例法直接法分类讨论思想穷举法


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