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2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷):理数第18题

  2016-10-30 09:02:05  

(2013山东卷计算题)

(本题满分12分)

如图所示,在三棱锥中,平面分别是的中点,交于点交于点,连接

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的余弦值。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷):理数第18题
【答案】

(Ⅰ)因为为中点,所以

同理:,所以平面, 

所以平面,又平面

所以,又,所以

(Ⅱ)由的中点可得,为直角三角形,

为坐标原点,以轴建立空间直角坐标系,

,可得平面的一个法向量为

平面的一个法向量为,可得

所以二面角的余弦值为

【解析】

本题主要考查空间几何中线与线之间的关系,二面角的求解。

(Ⅰ)本问多次使用三角形的中位线定理证明两直线平行。包含了转化思想,将证明,转化为证明

(Ⅱ)本问采用向量法,向量法在空间几何中是一种简单而适用的方法。先建立适当的坐标系,然后分别求出平面和平面的法向量。然后根据来那个法向量的夹角公式求出该二面角。

【考点】
空间向量的应用点、直线、平面的位置关系
【标签】
综合与分析法建系法


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