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2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第20题

  2016-10-30 09:02:21  

(2013安徽卷计算题)

(本小题满分13分)

设函数,证明:

(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足

(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)对每个,当时,,故内单调递增。由于,当,故,又

所以存在唯一的,满足

(Ⅱ)当时,,故,由内单调递增知,,故为单调递减数列。从而对任意的,对任意的,由于 

①减去②并移项,利用, 得

因此,对任意,都有

【解析】

本题主要考查函数与导数的结合与导数在函数分析中的应用。

(Ⅰ)求导后发现在整个区间单调,只需证明函数在区间内既有大于零的点又有小于零的点即可;

(Ⅱ)首先由结合第一题单调性可推出,即证明了不等式左侧;可得的不等式,再利用放缩法,

【考点】
函数与方程导数在研究函数中的应用数列的求和


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