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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第19题

  2016-10-30 09:01:21  

(2013新课标Ⅰ卷计算题)

(本题满分12分)

一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为,如果,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立。

(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;

(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为(单位:元),求的分布列及数学期望。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)设第一次取出的件产品中恰有件优质品为事件,第一次取出的件产品全是优质品为事件,第二次取出的件产品都是优质品为事件,第二次取出的件产品是优质品为事件,这批产品通过检验为事件,依题意有,且互斥,所以

(Ⅱ)可能的取值为400,500,800,

所以的分布列为

【解析】

本题主要考查有关概率计算与分布列及数学期望。

设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件,第一次取出的4件产品全是优质品为事件,第二次取出的4件产品都是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件,这批产品通过检验为事件,依题意有,且互斥。

(Ⅰ)对于第一种情况,先从这批产品中任取四个产品,其中三个为优质品的概率为,那么需要再从该类产品中抽取四个产品,四个都未为优质品的概率为。同理,对于第二种情况,第一次取出的四件产品都为优质品的概率为,第二次取出的一件产品为优质品的概率为,进而根据问题要求即可求出。

(Ⅱ)若对该产品进行检验,最后花费的检验费用有三种情况,即为400元,500元或800元。如果此产品在第一轮检验中,只有1或2个产品为优质品,则不必进行接下来的检验,即总共只可花费400元。如果检验的第一批产品四个全部为优质品,在第二轮检验中只需检验一件产品即可,此时需花费500元。另外,如果在检验第一批产品中,如果有三件产品为优质品,则在第二轮检验全部四件产品,共需花费800元。如此,即可分别根据题目条件求出期分别对应的概率。并据此求出所需花费费用的数学期望。

【考点】
随机变量及其分布事件与概率
【标签】
分类讨论思想


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