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2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):文数第21题

  2016-10-30 08:49:26  

(2013上海卷计算题)

(本小题满分14分)

已知函数,其中常数

(1)令,判断函数的奇偶性并说明理由;

(2)令,将函数的图象向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图象。对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):文数第21题
【答案】

(1)

。所以既不是奇函数,也不是偶函数。

(2),将的图象向左平移个单位,再向上平移个单位后得到的图象,所以

,得因为恰有10个周期,所以,当是零点时,在上零点个数为21;

不是零点时,也都不是零点,区间上恰有2个零点,则区间上有20个零点。

综上,上零点个数的所有可能值为20或21。

【解析】

本题主要考查函数的奇偶性、函数的平移问题和对函数求解。

(1)对于定义域为对称的函数,若存在,则此函数既不是奇函数,也不是偶函数。

(2)将函数的图像向左平移个单位,向上平移个单位后得到的函数是。对于求零点的个数,只需结合函数的周期性求解,注意分情况讨论和区间端点处是否满足题目所求。

【考点】
函数三角函数


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