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2013年普等高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第21题

  2016-10-30 08:47:31  

(2013湖南卷其他)

(本小题满分13分)

已知函数

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)证明:当时,

【出处】
2013年普等高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第21题
【答案】

(Ⅰ)函数的定义域是

所以当时,单调递增。

时,单调递减。

所以上单调递增,在上单调递减。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明当时,即可。。令,令上单调递减上单调递减上单调递减,当,所以,当时,

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用和证明不等式常用的方法。

(Ⅰ)先求出函数的定义域,然后将求导,即可求出单调区间。

(Ⅱ)由表达式可以看出,当时,;当时,。根据(Ⅰ)中结论可以知道,设,则。所以如果,即若,即令,只要证明内恒为负,不等式得证。于是求出在此定义域内的最大值,若最大值小于零,则本题得证。

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
数形结合函数与方程的思想综合与分析法放缩法


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