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2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第21题

  2016-10-28 19:08:10  

(2012湖南卷计算题)

(本小题满分13分)

在直角坐标系中,曲线上的点均在圆外,且对上任意一点到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)设为圆外一点,过作圆的两条切线,分别与曲线相交于点.证明:当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第21题
【答案】

(Ⅰ)法一:设的坐标为,由已知得,易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以,化简得曲线的方程为

法二 :由题设知,曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为

(Ⅱ)当点在直线上运动时,的坐标为,又,则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为。于是,整理得

设过所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,故

设四点的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以

同理可得

于是由②,④,⑤三式得

所以,当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值

【解析】

本题主要考查圆锥曲线方程的综合运用。

(Ⅰ)点到直线的距离为,点到圆上点的距离的最小值为,其中为圆的圆心。由已知条件可得,于是联立解得曲线的方程。

(Ⅱ)过点引圆的两条切线,其斜率设为,则圆的圆心到这两条直线的距离为3。据此可得到一个一元二次方程,通过韦达定理解得的值。再将切线方程与曲线的方程联立,再次通过韦达定理解得,同理解得。然后得到的表达式,再将的值代入,便可得到结论。

【考点】
曲线与方程
【标签】
直接法函数与方程的思想综合与分析法


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