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2012年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):理数第21题

  2016-10-28 19:07:46  

(2012重庆卷计算题)

(本小题满分12分)

设数列 的前项和满足,其中

(1)求证:是首项为的等比数列;

(2)若,求证:,并给出等号成立的充要条件。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):理数第21题
【答案】

(1)证法一:由,即.

,故,得

又由题设条件知 

两式相减得

,知,因此

综上,对所有成立,从而 是首项为,公比为的等比数列。

证法二:用数学归纳法证明

时,由,得,即,再由,故

所以结论成立.

假设时,结论成立,即,那么

时,结论也成立。

综上可得,对任意。因此是首项为1,公比为的等比数列。

(2)证法一:当时,显然,等号成立。

,由(1)知所以要证的不等式化为

即证:

时,上面不等式的等号成立。

时,同为负;

时,  同为正。

因此当时,总有,即

<

上面不等式对求和得

由此可得

综上,当,有,当且仅当时等号成立。

证法二:当时,显然 ,等号成立.当时, ,等号成立

,由(1)知:,下证:

时,上面不等式化为

 

当 时,,故

即所要证的不等式成立.

时,对求导得

其中,则,即上的减函数,故,从而 ,进而上的增函数,因此,所要证的不等式成立。

时,令,则,由已知的结论知

两边同时乘以得所要证的不等式。

综上,当,有,当且仅当时等号成立。

【解析】

本题主要考查等比数列的证明和数学归纳法。

(1)①由题可得,故。则,对时,可得,则。因为,故。由以上可知 是首项为,公比为的等比数列。②利用数学归纳法可证得

(2)①由题可得,欲证明,只需证明,又由,则,故可得证。②先求和,得,即只需证明。令,则只需证明。利用函数单调性可得,同乘可得所求证不等式成立。等号成立充要条件为

【考点】
数学归纳法等比数列
【标签】
分类讨论思想函数与方程的思想


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