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2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题

  2016-10-28 19:07:40  

(2012北京卷计算题)

(本小题满分13分)

是由个实数组成的列的数表满足:每个数的绝对值不大于,且所有数的和为零,记为所有这样的数表构成的集合。对于,记的第行各数之和的第列各数之和。记中的最小值。

(1)对如下数表,求的值;

(2)设数表形如

的最大值;

(3)给定正整数,对于所有的,求的最大值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题
【答案】

(1)由题意可知

所以  。

(2)先用反证法证明 

若 ,所以 同理可知,所以

由题目所有数和为,即  ,所以 与题目条件矛盾,所以

易知当  时, 存在。所以 的最大值为

(3) 的最大值为

首先构造满足  的

 。

经计算知, 中每个元素的绝对值都小于,所有元素之和为,且

下面证明是最大值,

若不然,则存在一个数表,使得

的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于

而两个绝对值不超过的数的和,其绝对值不超过

的每一列两个数之和的绝对值都在区间中

由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于

中有列的列和为正,有列的列和为负,

由对称性不妨设,则

另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负。

考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过(即每个正数均不超过),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过)。

因此

的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾。因此的最大值为

【解析】

本题主要考查集合、函数和不等式。

(1)根据题目对新数表的定义代入已知数值即可得到的值;

(2)本问直接求的最大值比较困难,但可先做猜想,然后采用反证法证明即可得最大值为

(3)此问也是先根据特殊猜想的值,然后通过构造满足题意的,后面在证明所取的值即为最大值时采用反证法。 

【考点】
集合的基本运算
【标签】
定义法反证法综合与分析法


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