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2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第16题

  2016-10-28 19:08:50  

(2012天津卷计算题)

(本小题满分13分)

现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择。为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏。

(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;

(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第16题
【答案】

依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为

设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则

(Ⅰ)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:

(Ⅱ)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件

,由于互斥,故

所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

(Ⅲ)的所有可能取值为0,2,4

由于互斥,互斥,故

所以的分布列是:

随机变量的数学期望:

【解析】

本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,事件的相互独立性,离散型随机变量的分布列与数学期望等。

(Ⅰ)依题意,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为,由互斥事件的乘积公式可得恰有两人去参加甲游戏的概率;

(Ⅱ)事件“4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”包括“恰有3人参加甲游戏”和“4人都参加甲游戏”,且两事件互斥;

(Ⅲ)分别求出各种情况下的概率即可写出分布列,代入期望公式可得出期望。

【考点】
古典概型随机变量及其分布
【标签】
定义法


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