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2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第20题

  2016-10-28 19:08:45  

(2012四川卷计算题)

(本小题满分12分)

已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)取,得 

,得

又②-①,得

(1)若    , 由①知    

(2)若, 由③知 

由①④得:

(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,

时,有

所以,即    ,所以。令,则,所以,数列是以为公差,且单调递减的等差数列。则 ,当,所以,时,取得最大值,且的最大值为  。

【解析】

本题主要考查数列通项的求法和数列求和。

(Ⅰ)直接赋值,可求得

(Ⅱ)注意到条件,则。先求解通项为。代入,化简得,故数列是以为公差,且单调递减的等差数列。当恰出现的情况时,此时取最大值。由分析知,故时,取得最大值。则得

【考点】
数列的递推与通项等差数列
【标签】
直接法


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