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2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷):文数第21题

  2016-10-28 14:59:03  

(2012新课标卷计算题)

(本题满分12分)

设函数

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)若为整数,且当时,,求的最大值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷):文数第21题
【答案】

(Ⅰ)的定义域为 ,对 求导得

,则 ,所以单调递增;

,则当时, ,当 时,,所以, 单调递减,在 单调递增。

(Ⅱ)由于 ,所以

故当时,等价于      

,则

由(Ⅰ)知,函数 单调递增。而 ,所以存在唯一的零点,即存在唯一的零点。

设此零点为 ,则。当 时, ;当 时,。所以的最小值为

又由 ,可得 ,所以 

由于式等价于,故整数的最大值为

【解析】

本题主要考查函数、导数运算、导数在研究函数性质中的应用以及综合分析能力。

(Ⅰ)欲求解的单调区间,可先对求导数。因为导数中含有参数,所以需要根据分类讨论,分别求解出对应的单调区间。

(Ⅱ)代入可得恒成立,可等价为恒成立。令,则只需满足即可,即需要求出的最小值。通过对求导,利用(Ⅰ)中结果可求出的唯一零点在区间中,进而最小值在中,故的最大值为2。

【考点】
函数导数的运算导数在研究函数中的应用
【标签】
分类讨论法等价转化思想综合与分析法


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