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2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):文数第21题

  2016-10-28 14:58:16  

(2012四川卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,动点与两定点构成,且直线的斜率之积为,设动点的轨迹为

(Ⅰ)求轨迹的方程;

(Ⅱ)设直线)与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):文数第21题
【答案】

(Ⅰ)设的坐标为,当时,直线的斜率不存在;当时,直线的斜率不存在。于是。于是,的斜率为的斜率为。由题意,有,化简可得,。故动点的轨迹的方程为)。  

(Ⅱ)由消去,可得(*),对于方程(*),其判别式,而当为方程(*)的根时,的值为。结合题设()可知:,且,设的坐标分别为,则为方程(*)的两根。因为,所以,所以。此时 且  ,所以 且,所以

综上所述,的取值范围为:

【解析】

本题主要考查直线与椭圆的相关知识。

(Ⅰ)设出点的坐标,根据的斜率之积为,可以得出的关系,但必须排除斜率不存在时,的取值。

(Ⅱ)联立直线与(Ⅰ)中方程,利用求根公式,得出两点的横坐标,考虑到且轨迹不过两点,知,根据平行线分线段成比例,可知:,根据的取值范围,即可得出的取值范围。

【考点】
直线与方程曲线与方程


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