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2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):文数第19题

  2016-10-28 14:58:04  

(2012上海卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,在三棱锥中,底面的中点。已知。求:

(1)三棱锥的体积;

(2)异面直线所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):文数第19题
【答案】

(1)

三棱锥的体积为

(2)取的中点,连接,则  ,所以(或其补角)是异面直线所成的角。

在三角形中,

 ,所以

 因此,异面直线所成的角的大小是

【解析】

本题主要考查空间几何体的体积及异面直线夹角的相关知识。

(1)根据及题中各边长度即可得出答案。

(2)取的中点,则,所以(或其补角)即为异面直线所成的角,根据各边长度求得该角的大小即可。

扩展

求两异面直线夹角的方法一般有下面几种:

(1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为所求的角。

(2)同时作两条异面直线的平行线,并使它们相交,所成的锐角(或直角)即为所求的角。

(3)向量法:用向量的夹角公式求解。

注:无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围。以及利用三角形中位线平移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。

速解

第(2)问也可通过建立空间直角坐标来求解。

为坐标原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系。

于是

所以。即异面直线所成的角的大小是

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法建系法


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