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2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):理数第20题

  2016-10-28 16:58:14  

(2011重庆卷计算题)

(本小题满分12分,(Ⅰ)(4分),(Ⅱ)(8分).)

如图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线的斜率之积为,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)由,解得,故椭圆的标准方程为

(Ⅱ)设,则由,因为点在椭圆上,所以

。设分别为直线的斜率,由题设条件知,因此,所以。所以点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为 ,则由椭圆的定义 为定值,又因,因此两焦点的坐标为 

【解析】

本题主要考查椭圆的概念以及椭圆与直线的位置关系。

(Ⅰ)由离心率和准线方程可得,从而可得椭圆方程;

(Ⅱ)分别设出点的坐标,由,直线的斜率之积为以及点在椭圆上可得出点的轨迹是个椭圆,则当为该椭圆焦点时满足题意。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线


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