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2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第16题

  2016-10-28 16:58:08  

(2011北京卷计算题)

(本小题满分14分)

如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,

(1)求证:平面

(2)若,求所成角的余弦值;

(3)当平面与平面垂直时,求的长。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第16题
【答案】

(1)因为四边形是菱形,所以

又因为平面,所以,所以平面

(2)设。因为,所以

如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则

所以

所成角为

(3)由(2)知

,则

设平面的法向量

所以

,则

所以,同理,平面的法向量

因为平面平面,所以,即,解得,所以

【解析】

本题主要考查立体几何中直线与面的关系和二面角的求法。

(1)证明直线垂直于平面,及证明直线与平面中相交的两条直线分别垂直,观察图,可证明

(2)求所成角的余弦值,用向量法在的交点建立直角坐标系。用该坐标系将各点的坐标表示出,即可求出异面直线的夹角;

(3)当平面与平面垂直时,可分别求出两平面的法向量,再利用两平面的法向量也相互垂直的关系求出的长。 

【考点】
点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法数形结合等价转化思想


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